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已知函數f(x)=x2-(2a+1)x+alnx.
(1)當a=1時,求函數f(x)的單調增區間;
(2)求函數f(x)在區間[1,e]上的最小值;
(1)(0,),(1,+∞)  (2)a(lna-a-1)
本試題主要考查了導數在研究函數中的運用。
解:(1)當a=1時,f(x)=x2-3x+lnx,定義域為(0,+∞),
f′(x)=2x-3+.
令f′(x)=0,得x=1或x=.
x
(0,)

(,1)
1
(1,+∞)
f′(x)

0

0

f(x)
?
極大值
?
極小值
?
所以函數f(x)的單調增區間為(0,),(1,+∞).
(2)f′(x)=2x-(2a+1)+,令f′(x)=0,得x=a或x=.
當a≤時,f(x)在[,+∞)上單調增,所以f(x)在區間[1,e]上單調增;
<a≤1時,f(x)在(0,],[a,+∞)上單調增,所以f(x)在區間[1,e]上單調增.
綜上,當a≤1時,f(x)min=f(1)=-2a;
當1<a<e時,
x
(1,a)
a
(a,e)
f′(x)

0

f(x)
?
a(lna-a-1)
?
所以f(x)min=f(
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

(理)(14分)設函數,其中
(I)當時,判斷函數在定義域上的單調性;
(II)求函數的極值點;
(III)證明對任意的正整數n,不等式都成立.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數上是增函數,在上為減函數.
(1)求的表達式;
(2)若當時,不等式恒成立,求實數的值;
(3)是否存在實數使得關于的方程在區間[0,2]上恰好有兩個相異的實根,若存在,求實數的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

己知函數
(1)求函數的單調區間;
(2)設函數,是否存在實數a、b、c∈[0,1],使得若存在,求出t的取值范圍;若不存在,說明理由.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

設函數,其中為大于零的常數.
(1)當時,求函數的單調區間和極值;
(2)若在區間上至少存在一點,使得成立,求的取值范圍.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

設函數其中,
(1)求的單調區間;
(2)當時,證明不等式:.
(3)求證:ln(n+1)> +++L).

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數
(I)討論函數的單調性;
(Ⅱ)當時,求函數在區間上的最值.

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

已知函數.
(Ⅰ)求函數的單調區間;
(Ⅱ)若對定義域每的任意恒成立,求實數的取值范圍;
(Ⅲ)證明:對于任意正整數,不等式恒成立。

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科目:高中數學 來源:不詳 題型:填空題

函數的單調遞增區間是             

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