Question

已知函數f（x）=x²-ax+lnx+b（a，b∈R）
（1）若函數f（x）在x=1處的切線方程為x+y+2=0，求實數a，b的值；
（2）若f（x）在其定義域內單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：對函數求導，根據題意可得f（1）=1-a+b，f′（1）=3-a
（1）由題意可得

k=f′(1)=3-a=-1 1+f(1)+2=0

可求a，b
（2）由題意可得f′(x)=2x-a+

1

x

≥0在x∈（0，+∞）恒成立即2x²-ax+1≥0，結合二次函數的性質可求a的范圍；
另解由題意可得f′(x)=2x-a+

1

x

≥0在x∈（0，+∞）恒成立，即a≤2x+

1

x

，利用基本不等式求解2x+

1

x

的最小值，進而可求a的范圍．

解答：解：∵f（x）=x²-ax+lnx+b
∴f′(x)=2x-a+

1

x

…（2分）
∴f（1）=1-a+b，f′（1）=3-a…（4分）
（1）∵函數f（x）在x=1處的切線方程為x+y+2=0
∴

k=f′(1)=3-a=-1 1+f(1)+2=0

解得：a=4，b=0．…（7分）
（2）f（x）=x²-ax+lnx+b的定義域為{x|x＞0}…（8分）
∵f（x）在其定義域內單調遞增
∴f′(x)=2x-a+

1

x

＞0在x∈（0，+∞）恒成立（允許個別點處等于零）   …（9分）
∵2x-a+

1

x

＞0（x＞0）即2x²-ax+1＞0
令g（x）=2x²-ax+1，則其對稱軸方程是x=

a

4

．
當

a

4

≤0即a≤03時，g（x）在區間（0，+∞）上遞增
∴g（x）在區間[0，+∞）上有g（x）_min=g（0）=1＞0，滿足條件．…（11分）
當

a

4

＞0即a＞0時，g（x）在區間(0，

a

4

)上遞減，g（x）在區間(

a

4

，+∞)上遞增，
則g(x)min=g(

a

4

)=-

a2

8

+1≥0（a＞0）…（13分）
解得：0＜a≤2

2

綜上所得，a≤2

2

…（14分）
另解：（2）f（x）=x²-ax+lnx+b的定義域為{x|x＞0}…（8分）
∵f（x）在其定義域內單調遞增
∴f′(x)=2x-a+

1

x

＞0在x∈（0，+∞）恒成立（允許個別點處取到等號）…（9分）
∵2x-a+

1

x

＞0（x＞0）即a＜2x+

1

x

(x＜0)（允許個別值處取到等號）…（10分）
令g(x)=2x+

1

x

(x＜0)，則a≤g（x）_min，…（11分）
因為g(x)=2x+

1

x

≥2

2x• 1 x

=2

2

，
當且僅當2x=

1

x

即x=

2

2

時取到等號．…（13分）
所以 g(x)min=2

2

，所以a≤2

2

…（14分）

點評：本題主要考查了導數的幾何意義的 應用，函數的導數與函數的單調性的關系的應用及恒成立與函數的最值求解的相互轉化關系的應用．