Question

4．已知函數f（x）=x²-ax-2a²（x∈R）．
（Ⅰ）關于x的不等式f（x）＜0的解集為A，且A?[-1，2]，求a的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在實數a，使得當x∈R時，$\left\{\begin{array}{l}f（|x|）-f（x）=0\\|f（x）|-f（x）=0\end{array}\right.$成立．若存在給出證明，若不存在說明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用集合與集合之間的關系，分類討論參數a寫出不等式，求出a的取值范圍；
（2）由題意列出等式，得到f（-x）=f（x）且f（x）≥0成立，從而求出a的值．

解答 解：（1）若關于x的不等式f（x）＜0的解集A≠Φ，則△＞0，即a≠0；
當a＞0時．不等式解集A為（-a，2a）；
由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}-a≤-1\\ 2a≥2\end{array}\right.$∴a≥1；
當a＜0時，不等式解集A為（2a，-a）；
由題意可知：$\left\{\begin{array}{l}2a≤-1\\-a≥2\end{array}\right.$∴a≤-2；
綜上所述：a∈（-∞，-2]∪[1，+∞）；
（2）∵$\left\{\begin{array}{l}f（|x|）-f（x）=0\\|f（x）|-f（x）=0\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{f（-x）=f（x）}\\{f（x）≥0}\end{array}\right.$；
所以有：$\left\{\begin{array}{l}{（-x）^{2}-2a（-x）-2{a}^{2}={x}^{2}-2ax-2{a}^{2}}\\{△≤0}\end{array}\right.$；
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{a≤0}\end{array}\right.$⇒a=0；
證明：當a=0時，f（x）=x² ∴f（|x|）-f（x）=|x|²-x²=0；
又∵|f（x）|-f（x）=|x²|-x²=0；
所以：當a=0時，條件成立．

點評 本題主要考查了集合與不等式基礎知識點，以及一元二次函數的性質與存在性命題證明，屬中等題．