Question

已知函數，，
⑴求函數的單調區間；
⑵記函數，當時，在上有且只有一個極值點，求實數的取值范圍；
⑶記函數，證明：存在一條過原點的直線與的圖象有兩個切點

Answer 1

（1）當時，為單調增區間，當時，為單調減區間， 為單調增區間．
（2）
（3）在第二問的基礎上，根據函數的單調性以及導數的幾何意義來證明。

試題分析：（1）因為，
①若，則，在上為增函數，2分 ②若，令，得，
當時，；當時，．
所以為單調減區間，為單調增區間． 綜上可得，當時，為單調增區間，
當時，為單調減區間， 為單調增區間．  4分
（2）時，，
，  5分
在上有且只有一個極值點，即在上有且只有一個根且不為重根，
由得，
（i），，滿足題意；…… 6分
（ii）時，，即；… 7分
（iii）時，，得，故； 綜上得：在上有且只有一個極值點時，． ………8分注：本題也可分離變量求得．
（3）證明：由（1）可知：
（i）若，則，在上為單調增函數，
所以直線與 的圖象不可能有兩個切點，不合題意． 9分
（ⅱ）若，在處取得極值．
若，時，由圖象知不可能有兩個切點．10分
故，設圖象與軸的兩個交點的橫坐標為（不妨設），
則直線與的圖象有兩個切點即為直線與和的切點．，，
設切點分別為，則，且
，，，
即   ① ,    ② ,   ③ ,
①-②得：，
由③中的代入上式可得：，即，12分
令，則，令，因為，，故存在，使得，
即存在一條過原點的直線與的圖象有兩個切點．14分
點評：主要是考查了導數在研究函數中的運用，屬于難度題。