Question

AB是⊙O的直徑，D為⊙O上一點，過點D作⊙O的切線交AB延長線于C，若DA=DC，求證：AB=2BC．

Answer 1

【答案】分析：證法一、可以連接OD，構造直角三角形，然后求出∠DCO，然后根據30°所對的直角邊等于斜邊的一半，得出結論；
證法二、連接OD，DB，再證明△ADB≌△CDO，得到AB=OC，轉化為證明CO=2BC
解答：證明：法一：連接OD，則：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，
所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=30°，∠DOC=60°，
所以OC=2OD，
即OB=BC=OD=OA，
所以AB=2BC．
證法二：連接OD、BD．
因為AB是圓O的直徑，所以∠ADB=90°，
AB=2OB．
因為DC是圓O的切線，所以∠CDO=90°．
又因為DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，從而AB=CO．
即2OB=OB+BC，得OB=BC．故AB=2BC．
點評：本題考查的知識點是切線的性質，即切線垂直過切點的半徑，將問題轉化為直角三角形問題，解直角三角形即可得到答案．