Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC=2，M，N分別為PC、PB的中點．
（1）求證：PB⊥DM；
（2）求BD與平面ADMN所成角的大小；
（3）求二面角B-PC-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）以A點為坐標原點，以AB，AD，AP方向分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標系，求出向量的坐標，然后根據兩向量數量積為0，兩向量垂直，即可得到PB⊥DM；
（2）求出直線BD的方向向量，及平面ADMN的法向量，代入直線與平面夾角的向量公式，即可求出求BD與平面ADMN所成角的大小；
（3）求出平面BPC和平面DPC的法向量，代入直二面角的向量公式，即可求出二面角B-PC-D的大小．
解答：解：建立如圖所示的空間直角坐標系，依題意，得
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），
P（0，0，2）．（2分）
（1）因為M為PC的中點，所以M（1，，1）.，．（3分）
因為，所以PB⊥DM．（5分）
（2），．
因為，所以PB⊥AD．
又由（1）知PB⊥DM，且AD∩DM=D，所以PB⊥平面ADMN，
即為平面ADMN的法向量．（6分）
因此的余角等于BD與平面ADMN所成的角．（7分）
因為，所以，（8分）
所以BD與平面ADMN所成的角．（9分）
（3），，設平面PBC的法向量為，則
由得解得
令z₁=1，得．（10分）
，，設平面PCD的法向量為，則
由得解得
令z₂=2，得．（11分）
因為，（12分）
所以，依題意可得二面角B-PC-D的大小為．（14分）
點評：本題考查的知識點是用空間向量求直線與平面的夾角，用空間向量求平面間的夾角，其中建立恰當的空間直角坐標系，求出對應直線的方向向量及平面的法向量，是解答本題的關鍵．