Question

（2013•陜西）已知動圓過定點A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長為8．
（Ⅰ） 求動圓圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ） 已知點B（-1，0），設不垂直于x軸的直線與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線過定點．

Answer 1

分析：（I）設圓心C（x，y），過點C作CE⊥y 軸，垂足為E，利用垂徑定理可得|ME|=

1

2

|MN|，又|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，利用兩點間的距離公式即可得出．
（II）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0.

y

2 1

=8x1，

y

2 2

=8x2．利用角平分線的性質可得k_PB=-k_QB，可化為化為8+y₁y₂=0．又直線PQ的方程為y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，代入化簡整理為y（y₁+y₂）+8=8x，令y=0，則x=1即可得到定點．

解答：解：（Ⅰ）設圓心C（x，y），過點C作CE⊥y 軸，垂足為E，則|ME|=

1

2

|MN|，
∴|CA|²=|CM|²=|ME|²+|EC|²，
∴（x-4）²+y²=4²+x²，化為y²=8x．
（II）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由題意可知y₁+y₂≠0，y₁y₂＜0.

y

2 1

=8x1，

y

2 2

=8x2．
∵x軸是∠PBQ的角平分線，∴k_PB=-k_QB，
∴

y1

x1+1

=-

y2

x2+1

，∴

y1

y 2 1 8 +1

=

-y2

y 2 2 8 +1

，化為8+y₁y₂=0．
直線PQ的方程為y-y1=

y2-y1

x2-x1

(x-x1)，
∴y-y1=

y2-y1

y 2 2 8 - y 2 1 8

(x-x1)，化為y-y1=

8

y2+y1

(x-

y 2 1

8

)，
化為y(y2+y1)-y1(y2+y1)=8x-

y

2 1

，
y（y₁+y₂）+8=8x，令y=0，則x=1，
∴直線PQ過 定點（1，0）

點評：本題綜合考查了拋物線的標準方程及其性質、垂徑定理、兩點間的距離公式、直線與拋物線相交問題、直線方程及過定點問題、斜率計算公式等基礎知識，考查了推理能力、數形結合的思想方法、計算能力、分析問題和解決問題的能力．