Question

（本題滿分12分）設函數，對任意實數都有

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若的值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，猜想的表達式，并用數學歸納法加以證明.

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）

（Ⅱ）

（Ⅲ）

證明如下：（1）當時，，猜想成立

（2）假設時猜想成立，即

則

   所以當時，猜想也成立  

綜合（1）（2）可知，對一切，都有成立.

【解析】解：（Ⅰ）令得：…… 2分

（Ⅱ）由

               

                                    …… 4分

（Ⅲ）由（Ⅱ）猜想                              …… 6分

證明如下：（1）當時，，猜想成立                    …… 7分

（2）假設時猜想成立，即                …… 8分

   則            …… 10分

   所以當時，猜想也成立                                 …… 11分

 綜合（1）（2）可知，對一切，都有成立.             ……12分