Question

在四棱錐中，底面是矩形，平面，，. 以的中點(diǎn)為球心、為直徑的球面交于點(diǎn)，交于點(diǎn).

（1）求證：平面⊥平面

（2）求直線與平面所成的角的大小；

（3）求點(diǎn)到平面的距離.

Answer 1

解析：

方法一：（1）依題設(shè)知，AC是所作球面的直徑，則AM⊥MC。

又因?yàn)镻 A⊥平面ABCD，則PA⊥CD，又CD⊥AD，

 

所以CD⊥平面ＰＡＤ，則CD⊥AM，所以A M⊥平面PCD，

所以平面ABM⊥平面PCD。

（2）由（1）知，，又，則是的中點(diǎn)可得

，

則

設(shè)D到平面ACM的距離為，由即，

可求得，

設(shè)所求角為，則，。

（1）   可求得PC=6。因?yàn)锳N⊥NC，由，得PN。所以。

故N點(diǎn)到平面ACM的距離等于P點(diǎn)到平面ACM距離的。

又因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)，則P、D到平面ACM的距離相等，由（2）可知所求距離為。

方法二：

（1）同方法一；

（2）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，， ，，；設(shè)平面的一個(gè)法向量，由可得：，令，則

。設(shè)所求角為，則，

 所以所求角的大小為。

（3）由條件可得，.在中，,所以,則, ，所以所求距離等于點(diǎn)到平面距離的，設(shè)點(diǎn)到平面距離為則，所以所求距離為。