Question

過點(diǎn)P（1，3）的動(dòng)直線交圓C：x²+y²=4于A、B兩點(diǎn)，分別過A、B作圓C的切線，如果兩切線相交于點(diǎn)Q，那么點(diǎn)Q的軌跡為（　　）

A．直線的一部分

B．直線

C．圓的一部分

D．射線

Answer 1

分析：根據(jù)圓的對(duì)稱性可得Q點(diǎn)是經(jīng)過C點(diǎn)垂直于AB的直線與A點(diǎn)切線的交點(diǎn)．由此設(shè)A（m，n），Q（x，y），根據(jù)圓的切線的性質(zhì)與直線斜率公式，分別求出直線AQ、CQ方程，兩個(gè)方程消去m、n得關(guān)于x、y的一次方程，即為點(diǎn)Q軌跡所在直線方程，再根據(jù)圖形可得直線與圓C相交而Q不可能在圓上或圓內(nèi)，可得Q軌跡是直線的一部分．

解答：解：設(shè)A（m，n），Q（x，y），根據(jù)圓的對(duì)稱性可得
Q點(diǎn)是經(jīng)過C點(diǎn)垂直于AB的直線與A點(diǎn)切線的交點(diǎn)
∵圓x²+y²=4的圓心為C（0，0）
∴切線AQ的斜率為k₁=-

1

kAC

=-

m

n

，得
得AQ方程為y-n=-

m

n

（x-m），化簡(jiǎn)得y=-

m

n

x+

4

n

…①
又∵直線PA的斜率k_PA=

3-n

1-m

，
∴直線CQ的斜率k₂=-

1

kPA

=

m-1

3-n

，
得直線CQ方程為y=

m-1

3-n

x…②
①②聯(lián)解，消去m、n得x+3y-4=0，即為點(diǎn)Q軌跡所在直線方程
由于直線x+3y-4=0與圓C：x²+y²=4相交，所以直線位于圓上或圓內(nèi)的點(diǎn)除外
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出定點(diǎn)P與圓C，求過P的圓的割線構(gòu)成的兩條切線的交點(diǎn)Q的軌跡．著重考查了圓的性質(zhì)、直線的基本量與基本形式、直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．