Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD//FE，∠AFE=60º，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，點(diǎn)G為AC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：EG//平面ABF；

（Ⅱ）求三棱錐B-AEG的體積；

（Ⅲ）試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直？若垂直，請(qǐng)證明；若不垂直，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）詳見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）平面BAE⊥平面DCE．證明見解析.

【解析】

試題分析：（I）取AB中點(diǎn)M，連FM，GM．由題設(shè)易得四邊形GMFE為平行四邊形，從而得EG∥平面ABF；（Ⅱ）顯然轉(zhuǎn)化為求三棱錐E－ABG的體積.注意到平面ABCD⊥平面AFED，故作EN⊥AD，垂足為N，則有EN⊥平面ABCD，即EN為三棱錐E-ABG的高．由此即可得其體積；（Ⅲ）為了判斷平面BAE、平面DCE是否垂直，首先看看在這兩個(gè)面中有哪些線是相互垂直的.由平面ABCD⊥平面AFED，四邊形ABCD為矩形可得，CD⊥平面AFED，從而 CD⊥AE．另外根據(jù)題中所給數(shù)據(jù)，利用勾股定理可判斷ED⊥AE．由此可知，平面BAE⊥平面DCE．

試題解析：（I）證明：取AB中點(diǎn)M，連FM，GM．

∵G為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，

∴GM∥AD，且GM=AD，

又∵FE∥AD，

∴GM∥FE且GM=FE．

∴四邊形GMFE為平行四邊形，即EG∥FM．

又∵平面ABF，平面ABF，

∴EG∥平面ABF． 4分

（Ⅱ）解：作EN⊥AD，垂足為N，

由平面ABCD⊥平面AFED ，面ABCD∩面AFED=AD，

得EN⊥平面ABCD，即EN為三棱錐E-ABG的高．

∵在△AEF中，AF=FE，∠AFE=60º，

∴△AEF是正三角形．

∴∠AEF=60º，

由EF//AD知∠EAD=60º，

∴EN=AE?sin60º=．

∴三棱錐B-AEG的體積為

． 8分

（Ⅲ）解：平面BAE⊥平面DCE．證明如下：

∵四邊形ABCD為矩形，且平面ABCD⊥平面AFED，

∴CD⊥平面AFED，

∴CD⊥AE．

∵四邊形AFED為梯形，FE∥AD，且，

∴．

又在△AED中，EA=2，AD=4，，

由余弦定理，得ED=．

∴EA2+ED2=AD2，

∴ED⊥AE．

又∵ED∩CD=D，

∴AE⊥平面DCE，

又面BAE，

∴平面BAE⊥平面DCE． 12分

考點(diǎn)：1、空間直線與平面的位置關(guān)系；2、幾何體的體積.