Question

如圖已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準線為l，焦點為F，圓M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切．過原點作傾斜角為的直線t，交l于點A，交圓M于點B，且|AO|=|OB|=2．
（1）求圓M和拋物線C的方程；
（2）設G，H是拋物線C上異于原點O的兩個不同點，且，求△GOH面積的最小值；
（3）在拋物線C上是否存在兩點P，Q關于直線m：y=k（x-1）（k≠0）對稱？若存在，求出直線m的方程，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由|AO|=2，=OAcos60°可求得p，從而可求得拋物線C的方程；繼而可求得圓M的半徑r，從而可求其方程；
（2）設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由•=0得x₁x₂+y₁y₂=0，由=4x₁，=4x₂，可求得x₁x₂=16，利用三角形的面積公式，結合基本不等式即可求得△GOH面積的最小值；
（3）設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）關于直線m對稱，且PQ中點D（x，y），利用P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）在拋物線C上，=4x₃，=4x₄，兩式相減可求得y=-2k，最后利用D（x，y）在m：y=k（x-1）（k≠0）上即可知點D（x，y）在拋物線外，從而可得答案．
解答：解：（1）∵，即p=2，
∴所求拋物線的方程為y²=4x--------------------------------（2分）
∴設圓的半徑為r，則，∴圓的方程為（x-2）²+y²=4．--------------（4分）
（2）設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），由•=0得x₁x₂+y₁y₂=0，
∵=4x₁，=4x₂，
∴x₁x₂=16，--------------------------------（6分）
∵=，
∴=•=（+）（+）=，
=[+4x₁x₂（x₁+x₂）+16x₁x₂]
≥[+4x₁x₂•2+16x₁x₂]
=256
∴≥16，當且僅當x₁=x₂=2時取等號，
∴△GOH面積最小值為16．-------------------------------------------（9分）
（3）設P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）關于直線m對稱，且PQ中點D（x，y）
∵P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄）在拋物線C上，
∴=4x₃，=4x₄，
兩式相減得：（y₃-y₄）（y₃+y₄）=4（x₃-x₄）--------------------------------（11分）
∴y₃+y₄=4•==-4k，
∴y=-2k
∵D（x，y）在m：y=k（x-1）（k≠0）上
∴x=-1＜0，點D（x，y）在拋物線外--------------------------------（13分）
∴在拋物線C上不存在兩點P，Q關于直線m對稱．--------------------------（14分）
點評：本題考查直線與圓錐曲線的關系，考查圓的標準方程與拋物線的標準方程，考查基本不等式及點差法，突出抽象思維能力與運算能力的考查，屬于難題．