Question

若函數f（x）的值域是其定義域的子集，那么f（x）叫做“集中函數”，則下列函數：
①f（x）=

x

x2+x+1

（x＞0），
②f（x）=lnx
③f（x）=sin⁴x-cos⁴x，x∈[-

π

12

，

π

8

]，
④f(x)=

x2-2x-6 (-2≤x≤0) 2x (-6≤x≤-3)

可以稱為“集中函數”的是

 

（請把符合條件的序號全部填在橫線上）

Answer 1

分析：求出各個函數的值域；判斷值域與定義域的關系，據集中函數的定義判斷出哪一個是集中函數．

解答：解：對于①，f（x）=

x

x2+x+1

=

1

x+ 1 x +1

≤

1

3

，所以值域為(0，

1

3

]⊆（0，+∞），所以f（x）是“集中函數”，
對于②，f（x）=lnx的值域為R，不是“集中函數”，
對于③f（x）=（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）=-cos2x
∵，x∈[-

π

12

，

π

8

]∴值域為[-1，-

2

2

]  不是“集中函數”，
對于④，當-2≤x≤0時，f（x）∈[-6，2]
當-6≤x≤-3時，f（x）∈[-12，-6]故函數的值域為[-12，2]，不是“集中函數”，
故答案為：①

點評：本題考查求函數的值域的方法：基本不等式、三角函數的有界性、利用函數的單調性等．考查理解題中的新定義．