Question

已知橢圓的離心率為，其左、右焦點分別為F₁，F₂，點P（x，y）是坐標平面內一點，且（O為坐標原點）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點且斜率為k的動直線l交橢圓于A、B兩點，在y軸上是否存在定點M，使以AB為直徑的圓恒過這個點？若存在，求出M的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出P的坐標，利用|OP|的值求得x和y的關系式，同時利用求得x和y的另一關系式，進而求得c，通過橢圓的離心率求得a，最后利用a，b和c的關系求得b，則橢圓的方程可得．
（2）設出直線l的方程，與橢圓方程聯立消去y，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則可利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，假設在y軸上存在定點M（0，m），滿足題設，則可表示出，利用=0求得m的值．
解答：解：（1）設P（x，y），F₁（-c，0），F₂（c，0），
則由；
由得，
即．
所以c=1
又因為．
因此所求橢圓的方程為：．
（2）動直線l的方程為：，
由得．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
則．
假設在y軸上存在定點M（0，m），滿足題設，則．

=
=
=
=
由假設得對于任意的恒成立，
即解得m=1．
因此，在y軸上存在定點M，使得以AB為直徑的圓恒過這個點，
點M的坐標為（0，1）
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質．考查了學生分析問題和推理的能力．