Question

在平面直角坐標系中，已知曲線：（為參數），將上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的和倍后得到曲線．以平面直角坐標系的原點為極點，軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系，已知直線：．
（1）試寫出曲線的極坐標方程與曲線的參數方程；
（2）在曲線上求一點，使點到直線的距離最小，并求此最小值．

Answer 1

（1）參考解析；（2），

試題分析：（1）由曲線：（為參數），寫出相應的直坐標方程，在轉化為極坐標方程.由上的所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的和倍后得到曲線.得到直角坐標方程，在轉化為參數方程.
（2）將直線：，化為直角坐標方程. 點在曲線上.用點P的參數方程的形式帶入，點到直線的距離公式，通過求三角函數的最值即可得到結論.
（1）由已知得曲線的直角坐標方程是，所以曲線的極坐標方程是，
因為曲線的直角坐標方程是，所以根據已知的伸縮變換得曲線的直角坐標方程是，所以曲線的參數方程是（是參數）．    5分
（2）設.由已知得直線的直角坐標方程是，即.所以點P到直線的距離.當即時. .此時點P的坐標是.所以曲線上的一點到直線的距離最小，最小值是.