Question

如圖，在平行四邊形OABP中，過點P的直線與線段OA、OB分別相交于點M、N，若=x，=y
（0＜x＜1）．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）令F（x）=+x，判斷F（x）的單調性，并給出你的證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）應充分利用平面向量的基本定理，找準基底將向量分別利用基底表示，再結合向量的共線即可獲得問題的解答．
（2）首先利用（1）的結論將F（x） 進行化簡，然后利用函數單調性的定義即可獲得問題的解答．
解答：解：（1）==-，
則=-=x-y，=-=（-）-x=-（1+x）+
又∥，有x-y（1+x）=0，
即函數的解析式為：f（x）=（0＜x＜1）；

（2）由（1）得F（x）=+x=+x=x++1（0＜x＜1），設0＜x₁＜x₂＜1，
則F（x₁）-F（x₂）=（x₁++1）-（x₂++1）=（x₁-x₂）+（-）
=（x₁-x₂）（1-）=（x₁-x₂），
由0＜x₁＜x₂＜1，得x₁-x₂＜0，x₁x₂-1＜0，x₁x₂＞0，得F（x₁）-F（x₂）＞0，
即F（x₁）＞F（x₂）．
∴F（x）在（0，1）上為減函數．
點評：本題考查的是平面向量和函數性質的綜合類問題．在解答的過程當中充分體現了平面向量的基本定理、共線知識以及函數單調性的定義．值得同學們體會和反思．