Question

【題目】定義下凸函數如下：設f（x）為區間I上的函數，若對任意的x1 ， x2∈I總有f（ ）≥ ，則稱f（x）為I上的下凸函數，某同學查閱資料后發現了下凸函數有如下判定定理和性質定理： 判定定理：f（x）為下凸函數的充要條件是f″（x）≥0，x∈I，其中f″（x）為f（x）的導函數f′（x）的導數．
性質定理：若函數f（x）為區間I上的下凸函數，則對I內任意的x1 ， x2 ， …，xn ， 都有 ≥f（ ）．
請問：在△ABC中，sinA+sinB+sinC的最大值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：設f（x）=sinx，x∈（0，π），則f′（x）=cosx，則f″（x）≤﹣sinx，x∈（0，π）， 由當x∈（0，π），0＜sin≤1，則f″（x）＜0成立，則f（x）=sinx，x∈（0，π）是凸函數，
由凸函數的性質可知： ≤f（ ）．
則sinA+sinB+sinC≤3sin（ ）=3×sin = ，
∴sinA+sinB+sinC的最大值為 ，
所以答案是： ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．