Question

已知函數f（x）=mx³-3（m+1）x²+（3m+6）x+1（m＜0）．
（1）函數f（x）在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，求實數m的值；
（2）當x∈[-1，1]時，函數f（x）的圖象上的任意一點切線的斜率恒大于3m，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出導函數f'（x），根據函數f（x）在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，可知x=是函數的極值，從而f'（）=0，解之即可求出m的值；
（2）本小問可轉化成f'（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6＞3m在區間[-1，1]恒成立，即3mx²-6（m+1）x+6＞0在區間[-1，1]恒成立，將x=-1和x=1代入使之成立，即可求出m的范圍．
解答：解：（1）f'（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6（1）
由題意得，所以m=-4．（6）
（2）f'（x）=3mx²-6（m+1）x+3m+6＞3m在區間[-1，1]恒成立，
即3mx²-6（m+1）x+6＞0在區間[-1，1]恒成立．（10）
設F（x）=3mx²-6（m+1）x+6＞0，則有，解得．（14）
點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查計算能力和分析問題的能力，屬于基礎題．