Question

已知函數f(x)=

x

ax+b

（a，b為常數，且a≠0），滿足f（2）=1，f（x）=x有唯一解，求函數f（x）的解析式

f(x)=

2x

x+2

，f[f（-3）]=

3

2

．

Answer 1

分析：先根據f(x)=

x

ax+b

=x的方程有唯一解，整理成一元二次方程求得△=0，求得a和b的關系，進而根據f（2）=1求得a和b，則函數f（x）解析式可得．進而求得f（-3）=6，代入f[f（-3）]求得答案．

解答：解：f(x)=

x

ax+b

=x，整理得ax²+（b-1）x=0，有唯一解
∴△=（b-1）²=0①
f（2）=

2

2a+b

=1，②
①②聯立方程求得a=

1

2

，b=1
∴f(x)=

2x

x+2

f（-3）=6，∴f[f（-3）]=f（6）=

3

2

故答案為f(x)=

2x

x+2

，

3

2

點評：本題主要考查了函數與方程的綜合運用．解題的過程重點根據方程得根據的情況判斷判別式與0的關系．