Question

13．已知函數g（x）=ax²-2ax+1+b（a＞0）在區間[2，3]上有最大值4和最小值1，設f（x）=$\frac{g（x）}{x}$．
（1）求a、b的值；
（2）若不等式f（lgx）-klgx≥0在$x∈[\sqrt{10}，100]$上有解，求實數k的取值范圍；
（3）若f（|2^x-1|）+k•$\frac{2}{{|{{2^x}-1}|}}$-3k=0有三個不同的實數解，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由函數g（x）=a（x-1）²+1+b-a，a＞0，所以g（x）在區間[2，3]上是增函數，故$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=1}\\{g（3）=4}\end{array}\right.$，由此解得a、b的值．
（2）由已知可得f（x）=x+$\frac{1}{x}$-2，所以令t=lgx，不等式f（lgx）-klgx≥0可化為k≤t²-2t+1，t∈[$\frac{1}{2}$，2]，求出h（t）=t²-2t+1的最大值，從而求得k的取值范圍；
（3）把已知方程轉化為|2^x-1|²-（3k+2）•|2^x-1|+（2k+1）=0，令|2^x-1|=m，則原方程有三個不同的實數解轉化為m²-（3k+2）m+（2k+1）=0有兩個不同的實數解m₁，m₂，其中0＜m₁＜1，m₂＞1或0＜m₁＜1，m₂=1．然后運用“三個二次”的結合列式得答案．

解答 解：（1）函數g（x）=ax²-2ax+b+1=a（x-1）²+1+b-a，
因為a＞0，所以g（x）在區間[2，3]上是增函數，故$\left\{\begin{array}{l}{g（2）=1}\\{g（3）=4}\end{array}\right.$，解得a=1，b=0． …．（6分）
（2）由已知可得f（x）=x+$\frac{1}{x}$-2，所以令t=lgx，不等式f（lgx）-klgx≥0可化為k≤t²-2t+1．
因$x∈[\sqrt{10}，100]$，故 t∈[$\frac{1}{2}$，2]．故k≤t²-2t+1在t∈[$\frac{1}{2}$，2]上能成立．
記h（t）=t²-2t+1，因為 t∈[$\frac{1}{2}$，2]，故 h（t）_max =h（2）=1，
所以k的取值范圍是（-∞，1]． 
（3）令m=|2^x-1|（m≥0），f（|2^x-1|）+k•$\frac{2}{{|{{2^x}-1}|}}$-3k=0，即f（m）+k•$\frac{2}{m}$-3k=0，
∴m²-（3k+2）m+（2k+1）=0有兩個不同的實數解m₁，m₂，
其中0＜m₁＜1，m₂＞1或0＜m₁＜1，m₂=1．
記F（m）=m²-（3k+2）m+（2k+1），則$\left\{\begin{array}{l}{2k+1＞0}\\{F（1）=-k＜0}\end{array}\right.$①或$\left\{\begin{array}{l}{2k+1＞0}\\{F（1）=-k=0}\\{0＜\frac{3k+2}{2}＜1}\end{array}\right.$②
解①得，k＞0；②無解．
∴實數k的取值范圍為（0，+∞）．

點評 本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，函數的零點與方程根的關系，函數的恒成立問題，考查了數學轉化思想方法，關鍵是對題意得理解，考查了學生的邏輯思維能力，是壓軸題．