Question

設正三棱錐P—ABC的底面邊長為a，側棱長為2a，過A作與PB、PC分別交于D、E的截面．

(1)求截面三角形ADE的周長的最小值；

(2)求截面三角形ADE周長最小時的截面面積．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如圖甲所示，將三棱錐沿PA剪開，展開攤平在一個平面上，顯然△ADE的周長l＝AD＋DE＋EA′≥AA′，則當AD、DE、EA′在一條直線上時，對應的截面△ADE的周長最短，則A、A′兩點的連線段AA′的長度是△ADE周長的最小值． 　　由題意，過P作PM⊥BC，則M為BC的中點，而正三棱錐三側面均為三個全等的等腰三角形，則在圖乙中，正三棱錐的側面展開圖是一個關于PM對稱的軸對稱圖形，則AD＝A′E，且有AA′⊥PM，又PM⊥BC． 　　∴AA′∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴AD＝EA′＝AB＝a，∴△ABD∽△PBC． 　　∴＝，∴BD＝·a＝，∴PD＝2a－＝，又DE∥BC，∴＝，∴DE＝·a＝． 　　故截面△ADE周長的最小值為AD＋DE＋EA′＝a＋＋a＝a． 　　(2)∵△ADE為等腰三角形，又AD＝A′E＝a，DE＝． 　　∴DE底邊上的高h＝＝a 　　∴S△ADE＝h·DE＝×a·＝a2