Question

11．已知兩點M（-5，0）和N（5，0），若直線上存在點P，使|PM|-|PN|=6，則稱該直線為“B型直線”．給出下列直線：①y=x+1；②y=2x+1；③$y=\frac{4}{3}x$；④y=2，其中為“B型直線”的是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ①④
• D． ③④

Answer 1

分析 首先根據題意，結合雙曲線的定義，可得滿足|PM|-|PN|=6的點的軌跡是以M、N為焦點的雙曲線的右支；進而可得其方程，若該直線為“B型直線”，則這條直線必與雙曲線的右支相交，依次分析4條直線與雙曲線的右支是否相交，可得答案．

解答 解：根據題意，滿足|PM|-|PN|=6的點的軌跡是以M、N為焦點的雙曲線的右支；
則其中焦點坐標為M（-5，0）和N（5，0），即c=5，a=3，
可得b=4；
故雙曲線的方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{16}$=1，（x＞0）
依題意，若該直線為“B型直線”，則這條直線必與雙曲線的右支相交，
進而分析可得：①y=x+1；④y=2與其相交，
②y=2x+1；③$y=\frac{4}{3}x$與雙曲線的右支沒有交點；
故選C．

點評 本題考查雙曲線與直線的位置關系，要掌握判斷雙曲線與直線相交，交點位置的判定方法．