Question

（2012•湖南）已知兩條直線l₁：y=m 和 l₂：y=

8

2m+1

（m＞0），l₁與函數y=|log₂x|的圖象從左至右相交于點A，B，l₂ 與函數y=|log₂x|的圖象從左至右相交于點C，D．記線段AC和BD在X軸上的投影長度分別為a，b，當m變化時，

b

a

的最小值為（　　）

• A．16

  2

• B．8

  2

• C．8

  3	4

• D．4

  3	4

Answer 1

分析：設A，B，C，D各點的橫坐標分別為x_A，x_B，x_C，x_D，依題意可求得為x_A，x_B，x_C，x_D的值，a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，利用基本不等式可求得當m變化時，

b

a

的最小值．

解答：解：設A，B，C，D各點的橫坐標分別為x_A，x_B，x_C，x_D，
則-log₂x_A=m，log₂x_B=m；-log₂x_C=

8

2m+1

，log₂x_D=

8

2m+1

；
∴x_A=2^-m，x_B=2^m，x_C=2-

8

2m+1

，x_D=2

8

2m+1

．
∴a=|x_A-x_C|，b=|x_B-x_D|，
∴

b

a

=

|xB-xD|

|xA-xC|

=|

2m-2 8 2m+1

2-m-2- 8 2m+1

|=2^m•2

8

2m+1

=2m+

8

2m+1

．
又m＞0，∴m+

8

2m+1

=

1

2

（2m+1）+

8

2m+1

-

1

2

≥2

1 2 ×8

-

1

2

=

7

2

（當且僅當m=

3

2

時取“=”）
∴

b

a

≥2

7

2

=8

2

．
故選B．

點評：本題考查對數函數圖象與性質的綜合應用，理解平行投影的概念，得到

b

a

=

|xB-xD|

|xA-xC|

是關鍵，考查轉化與數形結合的思想，考查分析與運算能力，屬于難題．