Question

若f（x）具有性質(zhì)：①f（x）為偶函數(shù)，②對(duì)任意x∈R，都有f（

π

4

-x）=f（

π

4

+x），則f（x）的解析式可以是

 

．（只寫一個(gè)即可）

Answer 1

分析：題目中條件：“若f（x）具有性質(zhì)：①f（x）為偶函數(shù)，”說(shuō)明有f（-x）=f（x）；“②對(duì)任意x∈R，都有f（

π

4

-x）=f（

π

4

+x）”說(shuō)明有：f（

π

2

+x）=f（x），是周期函數(shù)．

解答：解：∵若f（x）具有性質(zhì)：①f（x）為偶函數(shù)，
∴說(shuō)明有f（-x）=f（x）；
∵②對(duì)任意x∈R，都有f（

π

4

-x）=f（

π

4

+x）
∴說(shuō)明有：f（

π

2

+x）=f（x），是周期函數(shù)．
我們從三角函數(shù)中尋找即得：f（x）=a或f（x）=cos4x或f（x）=|sin2x|等．
故填：f（x）=a或f（x）=cos4x或f（x）=|sin2x|等．

點(diǎn)評(píng)：本題主考查抽象函數(shù)的周期性、對(duì)稱性以及偶函數(shù)，抽象函數(shù)是相對(duì)于給出具體解析式的函數(shù)來(lái)說(shuō)的，它雖然沒(méi)有具體的表達(dá)式，但是有一定的對(duì)應(yīng)法則，滿足一定的性質(zhì)，這種對(duì)應(yīng)法則及函數(shù)的相應(yīng)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．抽象函數(shù)的抽象性賦予它豐富的內(nèi)涵和多變的思維價(jià)值，可以考查類比猜測(cè)，合情推理的探究能力和創(chuàng)新精神．