Question

設曲線y=e^-x（x≥0）在點M（t，e^-t）處的切線l與x軸，y軸所圍成的三角形面積為S（t），則S（t）的最大值為

2

e

．

Answer 1

分析：先求切線斜率，進而可求切線方程，根據曲線y=e^-x（x≥0）在點M（t，e^-t）處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面積為S（t），表示出S（t），再用導數法求解．

解答：解：因為f'（x）=（e^-x）'=-e^-x，所以切線l的斜率為-e^-t，
故切線l的方程為y-e^-t=-e^-t（x-t），即e^-tx+y-e^-t（t+1）=0
令y=0得x=t+1，又令x=0得y=e^-t（t+1）
所以S（t）=

1

2

（t+1）•e^-1（t+1）=

1

2

（t+1）²e^-1
從而S′（t）=

1

2

e^-1（1-t）（1+t）．
∵當t∈（0，1）時，S'（t）＞0，當t∈（1，+∞）時，S'（t）＜0，
∴S（t）的最大值為S（1）=

2

e

．
故答案為：

2

e

點評：本題考查導數的幾何意義及利用導數來求區間函數的最值，考查綜合分析和解決問題的能力，解題的關鍵是正確求導．