Question

【題目】已知函數.

（1）若,求函數的單調遞減區間；

（2）若，求函數在區間上的最大值；

（3）若在區間上恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間是（2）見解析（3）1

【解析】試題分析：（1）第（1）問，直接利用導數求函數的減區間. (2) 利用導數求函數的單調性，從而求出函數的最大值，需要分類討論. (3)利用第(2)問的結論，即，求出a的最大值.

試題解析：（1）當時，.

令.

所以 函數的單調遞減區間是.

（2）.

令，由，解得.

當，即時，在區間上，函數是減函數.

所以 函數在區間上的最大值為；

當，即時，x在上變化時，的變化情況如下表

x	1
	0	+	0	_
f(x)			極大值

所以 函數在區間上的最大值為.

綜上所述：當時，函數在區間上的最大值為；

當時，函數在區間上的最大值為.

（3）由（Ⅱ）可知：當時，在區間上恒成立；

當時，由于在區間上是增函數，

所以 ,即在區間上存在使得.

綜上所述，a的最大值為1.