Question

已知函數(shù)，x∈（0，+∞）．
（1）當(dāng)a=8時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）對任意正數(shù)a，證明：1＜f（x）＜2．

Answer 1

【答案】分析：（1）把a(bǔ)=8代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，并判斷導(dǎo)數(shù)的符號，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）令，則abx=8①，②，將f（x）解析式進(jìn)行放縮，使用基本不等式，可證
f（x）＞1，由①、②式中關(guān)于x，a，b的對稱性，不妨設(shè)x≥a≥b．則0＜b≤2，當(dāng)a+b≥7，將f（x）解析式進(jìn)行放縮，可證
f（x）＜2；當(dāng)a+b＜7③，將f（x）解析式進(jìn)行放縮，再使用基本不等式證明f（x）＜2．綜上，1＜f（x）＜2．
解答：解：（1）、當(dāng)a=8時，，求得，
于是當(dāng)x∈（0，1]時，f'（x）≥0；而當(dāng)x∈[1，+∞）時，f'（x）≤0．
即f（x）在（0，1]中單調(diào)遞增，而在[1，+∞）中單調(diào)遞減．
（2）．對任意給定的a＞0，x＞0，由，
若令，則abx=8①，
而②
（一）先證f（x）＞1；因為，，，
又由，得a+b+x≥6．
所以
=
=．
（二）再證f（x）＜2；由①、②式中關(guān)于x，a，b的對稱性，不妨設(shè)x≥a≥b．則0＜b≤2
（ⅰ）當(dāng)a+b≥7，則a≥5，所以x≥a≥5，因為，，此時．
（ⅱ）當(dāng)a+b＜7③，由①得，，，
因為
所以④
同理得⑤，
于是⑥
今證明⑦，
因為，
只要證，即ab+8＞（1+a）（1+b），也即a+b＜7，據(jù)③，此為顯然．
因此⑦得證．故由⑥得f（x）＜2．
綜上所述，對任何正數(shù)a，x，皆有1＜f（x）＜2．
點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，用放縮法、基本不等式法證明不等式，體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想．