Question

設a=

∫

1 0

1-x2

dx，對任意x∈R，不等式a（cos²x-m）+πcosx≥0恒成立，則實數m的取值范圍為

（-∞，-3]

．

Answer 1

分析：根據定積分幾何意義求出a值，根據任意x∈R，不等式a（cos²x-m）+πcosx≥0恒成立，利用常數分離法進行求解；

解答：解：∵a=

∫

1 0

1-x2

dx，表示y=

1-x2

在[0，1]上的積分，也得圓面積的四分之一，
∴a=

1

4

×π，
∴對任意x∈R，不等式

π

4

（cos²x-m）+πcosx≥0恒成立，
可得m≤cos²x+4cosx在x∈R上恒成立，cosx∈[-1，1]，
求出cos²x+4cosx的最小值即可，cos²x+4cosx=（cosx+2）²-4，
∵函數開口向上，cosx∈[-1，1]，
函數f（cosx）=cos²x+4cosx在[-1，1]上增函數，當cosx=-1時取得最小值，可得（-1）²+4×（-1）=-3，
∴cos²x+4cosx的最小值為-3，
∴m≤-3，
故答案為（-∞，-3]；

點評：此題主要考查函數的最值的應用以及定積分的意義，關于函數的恒成立問題，一般用到常數分離法進行求解，是一道基礎題；