Question

（本題滿分12分）已知橢圓C：=1（a>b>0）的離心率為，以原點(diǎn)為圓點(diǎn)，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切。
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)P（4，0），A,B是橢圓C上關(guān)于x軸對稱的任意兩個不同的點(diǎn)，連接PB交隨圓C于另一點(diǎn)E，證明直線AE與x軸相交于定點(diǎn)Q.

Answer 1

（Ⅰ）="1." （Ⅱ）直線AE與x軸相交于定點(diǎn)Q(1,0)。

試題分析：（1）根據(jù)橢圓C：=1（a>b>0）的離心率為得到a,c的比值，以原點(diǎn)為圓點(diǎn)，橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切。那么利用線與圓相切，利用點(diǎn)到直線的距離公式得到圓的半徑。求解得到結(jié)論。
（2）由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)直線PB的方程為y=k(x-4)．與橢圓方程聯(lián)立，然后結(jié)合韋達(dá)定理，得到k的表達(dá)式，進(jìn)而得到交點(diǎn)定點(diǎn)的坐標(biāo)。
解：（Ⅰ）由題意知e==，所以e²===．即a²=b²．
又因?yàn)閎==，所以a²=4，b²=3．故橢圓的方程為=1.…4分
（Ⅱ）由題意知直線PB的斜率存在，設(shè)直線PB的方程為y=k(x-4)．
由,得（4k²+3）x²-32k²x+64k²-12=0． ①…6分
設(shè)點(diǎn)B(x₁,y₁)，E(x₂,y₂)，則A(x₁,-y₁)．直線AE的方程為y-y₂=(x-x₂)．令y=0，得x=x₂-．將y₁=k(x₁-4)，y₂=k(x₂-4)代入，
整理，得x=． ②…8分
由①得x₁+x₂=，x₁x₂=…10分  代入②整理，得x=1．
所以直線AE與x軸相交于定點(diǎn)Q(1,0)．……12分
點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是熟練的運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)得到其橢圓的方程，以及聯(lián)立方程組的思想，結(jié)合韋達(dá)定理得到k的值，求解得到定點(diǎn)。