Question

已知數列{}中，（n≥2，），

   （1）若，數列滿足（），求證數列{}是等差數列；

   （2）在（1）的情況下，求數列{}中的最大項與最小項，并說明理由；

   （3）若，試證明：．

Answer 1

解：（1），而　，

∴　．

∴　{}是首項為，公差為1的等差數列．

（2）由（1）有，而，∴　.

對于函數，在x＞3.5時，y＞0，，在（3.5，）上為減函數.　

故當n＝4時，取最大值3.

而函數在x＜3.5時，y＜0，，在（，3.5）上也為減函數．故當n＝3時，取最小值，＝－1.

（3）       用數學歸納法證明，再證明

      ① 當時，成立；

②假設當時命題成立，即，

                 當時，

                  故當時也成立， 

綜合①②有，命題對任意時成立，即.

                 （也可設（1≤≤2），則，

故）.

                  下證：