Question

給出下列命題：①若復平面內復數z=x-

1

2

i 所對應的點都在單位圓x²+y²=1內，則實數x的取值范圍是-

3

2

＜x＜

3

2

；②在復平面內，若復數z滿足|z-i|+|z+i|=4，則z在復平面內對應的點Z的軌跡是焦點在虛軸上的橢圓；③若z³=1，則復數z一定等于1；④若（x²-1）+（x²+3x+2）i是純虛數，則實數x=±1，其中，正確命題的序號是 ______

Answer 1

①∵若復平面內復數z=x-

1

2

i 所對應的點都在單位圓x²+y²=1內，
∴x2+

1

4

＜1，
∴x2＜

3

4

∴實數x的取值范圍是-

3

2

＜x＜

3

2

∴①正確；
②在復平面內，若復數z滿足|z-i|+|z+i|=4，
由復數的幾何意義知，z到兩個定點的距離之和是一個定值4
且4＜2
∴z在復平面內對應的點Z的軌跡是焦點在虛軸上的橢圓；
∴②正確；
③若z³=1，則復數z一定等于1
當復數z是一個實數時，z=1，
當復數z是一個虛數時，z=-

1

2

±

3

2

i
∴③不正確；
④若（x²-1）+（x²+3x+2）i是純虛數，
要滿足x²-1=0，x²+3x+2≠0
而當x=-1時，x²+3x+2=0
∴④不正確．
故答案為：①②