Question

已知數列{a_n}滿足a₁=4，a_n=4-

4

an-1

（n≥2，n∈N^*），令bn=

1

an-2

（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）當n∈N^*時，求證：

1

b12

+

1

b22

+…+

1

bn2

＜8．

Answer 1

分析：（1）b1=

1

a1-2

=

1

2

，由bn=

1

an-2

知an=

1

bn

+2．代入已知得

1

bn

+2=4-

4

an-1

轉化為bn-bn-1=

1

2

(n≥2)，利用等差數列的通項公式即可得出．
（2）當n≥2時，通過放縮和裂項可得

1

b 2 n

=

4

n2

＜

4

n(n-1)

=4(

1

n-1

-

1

n

)．進而即可證明．

解答：解：（1）b1=

1

a1-2

=

1

2

，由bn=

1

an-2

知an=

1

bn

+2．
代入已知得

1

bn

+2=4-

4

an-1

即bn-bn-1=

1

2

(n≥2)．
故bn=b1+(n-1)×

1

2

=

n

2

．
（2）當n≥2時

1

b 2 n

=

4

n2

＜

4

n(n-1)

=4(

1

n-1

-

1

n

)．
當n=1時，不等式成立
當n≥2時，左邊4+4[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]=8-

4

n

＜8．

點評：正確變形、利用等差數列的通項公式和放縮法、裂項求和即可得出．