Question

22．已知函數y=x+有如下性質，如果常數a＞0，那么該函數在（］上是減函數，在［，+∞）上是增函數.

（1）如果函數y＝x+在（0，4］上是減函數，在［4，+∞）上是增函數，求實常數b的值；

（2）設常數c∈[1，4]，求函數f（x）=x+（1≤x≤2）的最大值和最小值；

 

（3）當n是正整數時，研究函數g（x）=xⁿ-（c＞0）的單調性，并說明理由.

Answer 1

解(1) 由已知得=4, ∴b=4.

     (2) ∵c∈[1,4], ∴∈[1,2],

     于是,當x=時, 函數f(x)=x+取得最小值2.

f(1)－f(2)=,

當1≤c≤2時, 函數f(x)的最大值是f(2)=2+；

當2≤c≤4時, 函數f(x)的最大值是f(1)=1+c.

 

(3)設0＜x₁＜x₂,g(x₂)－g(x₁)=.

    

     當＜x₁＜x₂時, g(x₂)>g(x₁), 函數g(x)在[,+∞)上是增函數；

     當0＜x₁＜x₂＜時, g(x₂)>g(x₁), 函數g(x)在(0, ]上是減函數.

   當n是奇數時,g(x)是奇函數,

  函數g(x) 在(－∞,－]上是增函數, 在[－,0)上是減函數.

   當n是偶數時, g(x)是偶函數,

   函數g(x)在(－∞,－]上是減函數, 在[－,0)上是增函數.