Question

設函數f（x）的定義域為R，若存在與x無關的正常數M，使|f（x）|≤M|x|對一切實數x均成立，則稱f（x）為“有界泛函”，給出以下函數：（1）f（x）=x²；（2）f（x）=2^x；(3)f(x)=

x

x2+x+1

；（4）f（x）=xsinx．其中是“有界泛函”的個數為（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

分析：本題考查閱讀題意的能力，根據F函數的定義進行判定：對于（1）、（2）兩個函數無最大值故不存在這樣的M對一切實數x均成立；對于（3），需要通過討論，將不等式變形為 |

1

x2+x+1

| ≤m，可以求出符合條件的m的最小值為

4

3

，如此可得到正確結論；對于（4），|f（x）|=|xsinx|≤M|x|，即|sinx|≤M，當M≥1時，f（x）=xsinx是有界泛函．．

解答：解：對于（1），|f（x）|=|x²|≤M|x|，即|x|≤M，不存在這樣的M對一切實數x均成立，故不是有界泛函；
對于（2），|f（x）|=|2^x|≤M|x|，不存在這樣的M對一切實數x均成立，故不是有界泛函；
對于（3），要使|f（x）|≤m|x|成立，即|

x

x2+x+1

| ≤m|x|
當x=0時，m可取任意正數；當x≠0時，只須m≥|

1

x2+x+1

|的最大值；因為x²+x+1=(x+

1

2

)2+

3

4

≥

3

4

，所以m≥

4

3

，因此，當m≥

4

3

時，f（x）=

x

x2+x+1

是有界泛函；
對于（4），|f（x）|=|xsinx|≤M|x|，即|sinx|≤M，當M≥1時，f（x）=xsinx是有界泛函．
故選C．

點評：本題屬于開放式題，題型新穎，考查數學的閱讀理解能力．知識點方面主要考查了函數的最值及其幾何意義，考生需要有較強的分析問題解決問題的能力，對選支逐個加以分析變形，利用函數、不等式的進行檢驗，方可得出正確結論．