Question

函數(shù)f(x)=

ax2+1，x≥0 (a2-1)eax，x＜0

在(-∞，+∞)上單調(diào)，則a的取值范圍是

（-∞，-

2

]∪（1，

2

]

．

Answer 1

分析：分類（1）若a＞0，則函數(shù)f（x）應為增函數(shù)，要保證兩段均為增函數(shù)，且在x=0處的值，第一段大于等于第二段，建立不等式組解之可得；（2）若a＜0，f（x）應為減函數(shù)，要保證兩段均為減函數(shù)，且在x=0處的值，第一段小于等于第二段解之可得，綜合考慮即可．

解答：解：（1）若a＞0，則函數(shù)f（x）應為增函數(shù)，
可得

a＞0 a2-1＞0 a×02+1≥(a2-1)ea×0

，即

a＞0 a＜-1，或a＞1 - 2 ≤a≤ 2

，
解得1＜a≤

2

；
（2）若a＜0，f（x）應為減函數(shù)，
可得

a＜0 a2-1＞0 a×02+1≤(a2-1)ea×0

，即

a＜0 a＜-1，或a＞1 a≤- 2 ，或a≥ 2

，
解得a≤-

2

綜上可得a的范圍為：（-∞，-

2

]∪（1，

2

]
故答案為：（-∞，-

2

]∪（1，

2

]

點評：本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性，涉及分類討論的思想，屬中檔題．