Question

已知正三棱錐P—ABC的體積為72，側面與底面所成的二面角的大小為60°.

(1)證明PA⊥BC；

(2)求底面中心O到側面的距離.

Answer 1

(1)證明：取BC邊的中點D，連結PD，則AD⊥BC，PD⊥BC，故BC⊥平面APD.?

∴PA⊥BC.?

(2)解析：如圖，由(1)可知平面PBC⊥平面APD，則∠PDA是側面與底面所成二面角的平面角.?

過點O作OE⊥PD，E為垂足，則OE就是點O到側面的距離.?

設OE為h，由題意可知點O在AD上，∴∠PDO=60°,OP=2h.?

∵OD=,∴BC=4h.?

∴S_△ABC?=(4h)²=4h².?

∵72=×43h²×2h=h³,?

∴h=3,即底面中心O到側面的距離為3.