Question

已知實數x,y滿足 . 
（1）求的最小值和最大值； （2）求的取值范圍；     
（3）求的最小值；       （4）求最小值.

Answer 1

（1）目標函數的最小值和最大值分別為3和12（2）（3）2（4）3

試題分析：∵實數x,y滿足，
∴作出可行域如圖所示，并求頂點坐標，   

（1）如圖，作直線且平移該直線，
由圖可知當該直線經過點B時，即時，；
當該直線經過點C時，即時， ，
∴目標函數的最小值和最大值分別為3和12                             ……3分
（2）∵表示可行域內任一點與定點連線的斜率， 
∴由圖知，                   
又，
∴，                 
∴的取值范圍是                                              ……6分
（3）∵表示可行域內任一點到原點的距離的平方，
∴從圖中易知可行域中的點B到原點的距離最小，   
∴，  
∴                                                           ……9分
（4）∵
∴表示可行域內任一點到直線的距離
在圖中作出直線，由圖易知可行域中的點B到該直線的距離最小
∴點B到該直線的距離
∴
∴                                                                   ……12分
點評：解決線性規劃問題，關鍵是正確畫出可行域，如果目標函數不是線性的，則需要進行適當轉化，比如轉化為距離、斜率等.