Question

【題目】已知定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且滿足f（3-x）=f（x），f（-1）=3，數(shù)列{an}滿足a1=1且an=n（an+1-an）（n∈N*），則f（a36）+f（a37）=（　　）

A. B. C. 2D. 3

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據條件判斷函數(shù)的周期是6，利用數(shù)列的遞推關系求出數(shù)列的通項公式，結合數(shù)列的通項公式以及函數(shù)的周期性進行轉化求解即可．

∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且滿足f（3-x）=f（x），f（-1）=3，

∴f（x）=f（3-x）=-f（x-3），

即f（x+3）=-f（x），則f（x+6）=-f（x+3）=f（x），

即函數(shù)f（x）是周期為6的周期函數(shù)，

由數(shù)列{an}滿足a1=1且an=n（an+1-an）（n∈N*），

則an=nan+1-nan，即（1+n）an=nan+1，則 ，

等式兩邊同時相乘得，

即=n，即an=na1=n，即數(shù)列{an}的通項公式為an=n，

則f（a36）+f（a37）=f（36）+f（37）=f（0）+f（1），

∵f（x）是奇函數(shù)，∴f（0）=0，

∵f（-1）=3，∴-f（1）=3，即f（1）=-3，

則f（a36）+f（a37）=f（36）+f（37）=f（0）+f（1）=0-3=-3，

故選：A．