Question

已知m＞1，且存在x∈[-2，0]，使不等式x²+2mx+m²-m≤0成立，則m的最大值為

4

．

Answer 1

分析：由已知，f（x）=x²+2mx+m²-m在x∈[-2，0]上的值域內存在非正數，f（x）的最小值應為非正數．求出f（x）的最小值，令其小于或等于0，求出m的取值范圍再確定m的最大值．

解答：解：構造函數f（x）=x²+2mx+m²-m．記f（x）在x∈[-2，0]上的值域為C，由已知，值域C內存在非正數．∴f（x）的最小值應為非正數．
f（x） 的對稱軸x=-m，
①當m≥2時，-m≤-2，f（x）在[-2，0]上是增函數，f（x）的最小值 為f（-2），
由f（-2）≤0，得4+2m×（-2）+m²-m≤0，m²-5m+4≤0，1≤m≤4，
∴2≤m≤4．
②當1＜m＜2時，-2＜-m＜-1，f（x）在[-2，0]上先減后增，最小值 為f（-m），
由f（-m）≤0，得-m≤0，m≥0，
∴1＜m＜2
由①②可得m的取值范圍是1＜m≤4．，m的最大值是4
故答案為：4．

點評：本題是函數與不等式的結合，考查不等式解的概念，二次函數最值求解，考查綜合運用知識分析解決問題、轉化計算、分類討論的思想方法和能力．分析出f（x）的最小值 小于或等于0 是本題的關鍵．