Question

某公司是專門生產健身產品的企業，第一批產品A上市銷售40天內全部售完，該公司對第一批產品A上市后的市場銷售進行調研，結果如圖（1）、（2）所示．其中（1）的拋物線表示的是市場的日銷售量與上市時間的關系；（2）的折線表示的是每件產品A的銷售利潤與上市時間的關系．
（1）寫出市場的日銷售量f（t）與第一批產品A上市時間t的關系式；
（2）第一批產品A上市后的第幾天，這家公司日銷售利潤最大，最大利潤是多少？

Answer 1

解：（1）設f（t）=a（t-20）²+60，由f（0）=0可知
即（0＜t≤40，t∈N）
（2）設銷售利潤為g（t）萬元，則
當30≤t≤40時，g（t）單調遞減；
當0＜t≤30時，，易知g（t）在單增，單減
而t∈N，故比較g（26），g（27），經計算，
g（26）=2839.2＜g（27）=2843.1，
故第一批產品A上市后的第27天這家公司日銷售利潤最大，最大利潤是2843.1萬元．
分析：（1）先根據題意設f（t）=a（t-20）²+60，由f（0）=0求得a值即得日銷售量f（t）（2）與第一批產品A上市時間t的關系式；
（2）先寫出銷售利潤為g（t）萬元，分類討論：當30≤t≤40時，當0＜t≤30時，分別研究它們的單調性，而t∈N，故比較g（26），g（27）即可，經計算，g（26）＜g（27），故第一批產品A上市后的第27天這家公司日銷售利潤最大．
點評：本題考查了分段函數，以及函數與方程的思想，屬于基礎題．函數模型為分段函數，求分段函數的最值，應先求出函數在各部分的最值，然后取各部分的最值的最大值為整個函數的最大值，取各部分的最小者為整個函數的最小值．