Question

設z是虛數，ω=z+是實數，且-1＜ω＜2.

(1)求|z|的值及z的實部的取值范圍；

(2)設u=，求證:u為純虛數；

(3)求ω-u²的最小值.

 

Answer 1

(1)解:設z=a+bi(a、b∈R,b≠0),則ω=a+bi+=(a+)+(b-)i.

    ∵ω是實數，b≠0,

    ∴a²+b²=1,即|z|=1.

    ∵ω=2a,-1＜ω＜2,

    ∴z的實部的取值范圍是(-,1).

(2)證明:u==

    =

    =

    =-i.

    ∵a∈(-,1),b≠0,

    ∴u為純虛數.

(3)解:ω-u²=2a+

    =2a+=2a-

    =2a-1+=2［(a+1)+］-3.

    ∵a∈(-,1),∴a+1＞0.

    ∴ω-u²≥2×2-3=1.

    當a+1=,即a=0時，上式取等號.

    ∴ω-u²的最小值為1.