Question

已知函數f(x)=2x-

a

2x

，將y=f（x）的圖象向右平移兩個單位，得到y=g（x）的圖象．
（1）求函數y=g（x）的解析式；
（2）若函數y=h（x）與函數y=g（x）的圖象關于直線y=1對稱，求函數y=h（x）的解析式；
（3）設F(x)=

1

a

f(x)+h(x)，設F（x）的最小值為m．是否存在實數a，使m＞2+

7

，若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據坐標平移的規律左加右減得到g（x）的解析式；
（2）設出h（x）上任一點的坐標求出關于y=1對稱點的坐標代入g（x）求出h（x）的解析式即可；
（3）根據已知先求出F（x）的解析式，分四種情況討論a的取值，因為F（x）的最小值是m，所以只有當

1

4

＜a＜4時，根據不等式的基本性質求出F（x）的最小值等于m，又根據m＞2+

7

，列出不等式組求出解集即可．

解答：解：（1）∵函數f(x)=2x-

a

2x

，將y=f（x）的圖象向右平移兩個單位，得到y=g（x）的圖象，
g（x）=f（x-2）=2x-2-

a

2x-2

；
（2）設y=h（x）上的任意點P（x，y），則P關于y=1對稱點為Q（x，2-y），點Q在y=g（x）上，所以h（x）=2-2x-2+

a

2x-2

；
（3）F（x）=（

1

a

-

1

4

）2^x+（4a-1）(

1

2

)x+2
①當a＜0時，

1

a

-

1

4

＜0，4a-1＜0，∴F（x）＜2，與題設矛盾
②當0＜a≤

1

4

時，

1

a

-

1

4

＞0，4a-1≤0，F（x）在R上是增函數，F（x）無最小值；
③當a≥4時，

1

a

-

1

4

≤0，4a-1＞0，F（x）在R上是減函數，F（x）無最小值
④當

1

4

＜a＜4時，

1

a

-

1

4

＞0，4a-1＞0，F（x）≥2

(4-a)(4a-1) 4a

+2=m
由m＞2+

7

，得

1 4 ＜a＜4 (4-a)(4a-1) a ＞7

，
∴1＜a＜4

點評：本題考查函數的解析式，考查圖象的平移，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．