Question

直線y=

m

2

x與圓x²+y²+mx+ny-4=0交于M、N兩點，且M，N關于直線x+y=0對稱，則弦MN的長為

4

．

Answer 1

分析：由直線與圓兩交點M、N關于x+y=0對稱，得到圓心在x+y=0上，且直線的斜率為1，求出m的值，由圓的方程找出圓心坐標，代入x+y=0中，求出n的值，確定出圓的方程，找出圓心坐標與半徑r，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d，再利用垂徑定理及勾股定理即可求出弦MN的長．

解答：解：解：∵直線與圓的兩交點M、N關于x+y=0對稱，
∴直線y=

m

2

x的斜率為1，且圓心在x+y=0上，
∴

m

2

=1，圓心（-

m

2

，-

n

2

）在x+y=0上，即m+n=0，
∴m=2，n=-2，
∴圓的方程化為（x+1）²+（y-1）²=6，直線方程為y=x，
∴圓心到直線的距離d=

2

2

=

2

，r=

6

，
則弦MN的長為2

r2-d2

=4．
故答案為：4

點評：此題考查了直線與圓相交的性質，涉及的知識有：圓的標準方程，垂徑定理，勾股定理，以及點到直線的距離公式，當直線與圓相交時，常常根據垂徑定理由垂直得中點，進而由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．