Question

已知A、B分別是直線和上的兩個動點，線段AB的長為，D是AB的中點．
（1）求動點D的軌跡C的方程；
（2）過點N（1，0）作與x軸不垂直的直線l，交曲線C于P、Q兩點，若在線段ON上存在點M（m，0），使得以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，試求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設出D與A，B的坐標，用中點坐標公式把點D表示出來，再代入弦長公式即可得動點D的軌跡C的方程；
（2）把直線方程與軌跡C的方程聯立求出與P、Q兩點的坐標有關的等量關系，進而求出PQ的中點坐標，再利用菱形的對角線互相垂直即可求出m的取值范圍．
解答：解：（1）設．
∵D是線段AB的中點，∴，．（2分）
∵|AB|=，∴+=12，
∴．
化簡得點D的軌跡C的方程為．（5分）
（2）設l：y=k（x-1）（k≠0），代入橢圓，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，∴，∴．（7分）
∴PQ中點H的坐標為．
∵以MP、MQ為鄰邊的平行四邊形是菱形，∴k_MH•k=-1，
∴，即．（9分）
∵k≠0，∴．（11分）
又點M（m，0）在線段ON上，∴0＜m＜1．
綜上，．（12分）
點評：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與圓錐曲線的相關知識．