Question

已知函數f(x)=2cos2(x+

π

12

)+2sinxcosx-3．
（Ⅰ）化簡函數f（x）的解析式，并求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若方程f(x+

π

12

)+sinx-t=0恒有實數解，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對函數的解析式進行化簡整理，利用正弦函數的性質求得函數的最小正周期．
（Ⅱ）根據題意可把問題轉化為求函數t=f(x+

π

12

)+sinx的值域，進而根據二倍角公式對函數t的解析式整理后，利用二次函數的性質和sinx的范圍確定函數t的值域，答案可得．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=2cos2(x+

π

12

)+2sinxcosx-3
=cos(2x+

π

6

)+sin2x-2=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x-2
=sin(2x+

π

3

)-2．
其最小正周期為T=

2π

2

=π

（Ⅱ）方程f(x+

π

12

)+sinx-t=0恒有實數解，等價于求函數t=f(x+

π

12

)+sinx的值域．
∵t=f(x+

π

12

)+sinx=sin[2(x+

π

12

)+

π

3

]+sinx-2
=cos2x+sinx-2=-2sin²x+sinx-1=-2(sinx-

1

4

)2-

7

8

．
∵-1≤sinx≤1，∴t∈[-4，-

7

8

]．

點評：本題主要考查了二倍角公式的應用，兩角和公式的化簡求值以及三角函數的周期性等．考查了學生綜合分析和解決問題的能力．