Question

如圖，有一塊半徑為1的半圓形鋼板，計劃剪成矩形ABCD的形狀，它的一邊AB在圓O的直徑上，另一邊CD的端點在圓周上．求矩形ABCD面積的最大值和周長的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）表示出面積，利用基本不等式可得結論；
（2）方法一，利用導數的方法求最值；方法二，利用三角函數的知識求最值．
解答：解：（1）如圖，設OB=x，BC=y，∴x²+y²=1，-----------------------------------（1分）
∴-------------------------------------------（4分）
當且僅當x=y=時取等號，即此時，S_ABCD的最大值是1．-------------------（5分）
（2）（方法一） 設矩形ABCD的周長為L，∴L=4x+2y------------------（6分）
設，
∴y=sinθ，x=cosθ，∴L=4cosθ+2sinθ，L'=-4sinθ+2cosθ，令L'=0，得tan，-------（8分）
而tan，時，L'＞0；而tan，時，L'＜0，∴tan，L最大，-----（9分）
此時，，∴
--------------------------------------------（12分）
（2）（方法二）設矩形ABCD的周長為L，∴L=4x+2y-------------------------（6分）
設，∴y=sinθ，x=cosθ，
∴L=4cosθ+2sinθ==--------------（8分）
其中，，
∵φ，θ為銳角，
∴φ+θ=時，----------------------------------------------（12分）
點評：本題考查利用數學知識解決實際問題，考查基本不等式、導數知識的運用，屬于中檔題．