Question

若函數f（x）定義域內有兩個任意實數x₁，x₂，滿足f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，則稱函數f（x）為凸函數，下列函數中是凸函數的為

 

．
①f（x）=3x+1，②f(x)=

1

x

x∈（-∞，0），③f（x）=x²-3x-2，④f（x）=-|x+1|

Answer 1

分析：由題意，直接代入計算

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)的值，判斷是否恒大于0即可．

解答：解：①

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

3x1+1+3x2+1

2

-3

x1+x2

2

+1=0，不是凸函數；
②

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

1 x1 + 1 x2

2

-

1

x1 +x2 2

=

2(x1-x2) 2

(x1 +x2) x1x2

符號不確定，故不為凸函數
③

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

x12-3x1-2+x22-3x2-2

2

-(

x1+x2

2

)2+3

x1+x2

2

+2
=(

x1-x2

2

)2＞0，故為凸函數．
④

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

-|x1+1|-|x2+1|

2

+|

x1 +x2

2

+1|，
取x₁=1，x₂=2則上式為0，故不是凸函數．
故答案為：③

點評：本題為新定義問題，考查函數的解析式、對新定義的理解和計算．