Question

已知函數f（x）=log_ax和g（x）=2log_a（2x+4），（a＞0，a≠1）．
（I）若函數y=f（x）與函數y=g（x）的圖象在x=x處的切線平行，求x的值；
（II）設F（x）=g（x）-f（x），當x∈[1，4]時，F（x）≥2恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）由函數y=f（x）與函數y=g（x）的圖象在x=x處的切線平行，可用在該點處的導數相等解決；
（II）先抽象出F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+4）-log_ax=，由當x∈[1，4]時，F（x）≥2恒成立，再求得函數F（x）的最小值即可．
解答：解：（I）∵（3分）∵函數f（x）和g（x）的圖象在x=x處的切線互相平行∴f'（x）=g'（x）（5分）∴∴x=2（6分）
（II）∴F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+4）-log_ax=
令∵∴當1≤x＜2時，h′（x）＜0，
當2＜x≤4時，h′（x）＞0．h（x）在[1，2）是單調減函數，在（2，4]是單調增函數．（9分）
∴h（x）_min=h（2）=32，∴h（x）_max=h（1）=h（4）=36
∴當0＜a＜1時，有F（x）_min=log_a36，當a＞1時，有F（x）_min=log_a32．
∵當x∈[1，4]時，F（x）≥2恒成立，∴F（x）_min≥2（10分）
∴滿足條件的a的值滿足下列不等式組；①，或②
不等式組①的解集為空集，解不等式組②得
綜上所述，滿足條件的（12分）
點評：本題主要考查導數的幾何意義和用導數法解決恒成立問題．