Question

如圖，四棱錐S—ABCD的底面是矩形，AB=a，AD=2，SA=1，且SA⊥底面ABCD，若邊BC上存在異于B、C的一點P使得⊥.

(1)求a的最大值;

(2)當a取最大值時,求異面直線AP與SD所成角的余弦值;

(3)當a取最大值時,求平面SCD的一個單位法向量.

Answer 1

解：(1)a=1.

(2)a=1時,P為BC中點,以A為原點,AB,AD,AS為x,y,z軸建立空間直角坐標系.則A(0,0,0),P(1,1,0),S(0,0,1),D(0,2,0).

∴=(1,1,0),=(0,2,-1),·=2.

∴cos〈,〉=.

∴異面直線AP與SD所成角的余弦值為.

(3)由(2)知:S(0,0,1),D(0,2,0),C(1,2,0),=(1,2,-1),=(-1,0,0).

設平面SCD的單位法向量n₀=(x,y,z),則

則∴

∴n₀=(0,,).