Question

如圖，平面α與平面β相交成銳角θ，平面α內的一個圓在平面β上的射影是離心率為

1

2

的橢圓，則角θ等于

30°

．

Answer 1

分析：根據題意，設圓的半徑為r，由題意可得b=r，根據離心率與a，b，c的關系可得a=

2 3

3

r，所以cosθ=

2r

2a

=

3

2

，所以θ=30°．

解答：解：由題意可得：平面α上的一個圓在平面β上的射影是一個離心率為

1

2

的橢圓，也可以說為：β上的一個離心率為

1

2

的橢圓在α上的射影是一個圓，
設圓的半徑為r，所以b=r，
又因為

c

a

=

1

2

，并且b²=a²-c²，所以a=

2 3

3

r．
所以cosθ=

2r

2a

=

3

2

，所以θ=30°．
故答案為：30°

點評：本題以二面角為載體，考查與二面角有關的立體幾何綜合題，以及橢圓的性質，是解析幾何與立體幾何結合的一道綜合題．